Không chắc nha,mới gặp dạng này lần đầu
\(y^4=2008^x-12^x\)
Với x = 0 thì y = 0
Với x > 0 thì \(y^4=2008^x-12^x\) chẵn nên y chẵn
Ta có hằng đẳng thức mở rộng:\(a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+b^{n-1}\right)\)
Áp dụng vào,ta có: \(2008^x-12^x=1996\left(2008^{x-1}+2008^{x-2}.12+...+12^{x-1}\right)\)
Do \(y^4=2008^x-12^x\) là một số chính phương nên chia 8 dư 1
Tức là: \(1996\left(2008^{x-1}+2008^{x-2}.12+...+12^{x-1}\right)\) chia 8 dư 1 (1)
Do 1996 chia 8 dư 4 và các số \(2008^{x-1};2008^{x-2}.12;...\) chia hết cho 8.Mà 12x-1 chia 8 dư 1;4;0
Với 12x-1 chia 8 dư 1 thì 1996(2008x-1 + 2008x-2 . 12 + ... +12x-1) chia 8 dư 4(0+1) = 4 (trái với (1))
Tương tự khi 12x-1 chia 8 dư 4;0 ta cũng được kết quả trái với (1).
Vậy pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0)
Chết mọe,không để ý,số chính phương lẻ mới chia 8 dư 1 mà ko để ý!Đây là sô chính phương chẵn...
Uk,T ngu toan lam! Khổ quá,cứ soi mói mãi!
Dễ thấy \(x=y=0\)là 1 bộ nghiệm của phương trình
Xét \(x>0\Rightarrow2008^x⋮2008=2^3.251\)
Trường hợp 1: x chẵn thì ta có:
\(x=2x_1\left(x_1\in N\right)\)
\(\Rightarrow\left(12^{x_1}\right)^2\equiv-y^4\left(mod251\right)\)
Ta lại có: \(1\equiv\left(12^{x_1}\right)^{250}\equiv-\left(y^2\right)^{250}\equiv-1\left(mod251\right)\) vô lý
Trường hợp 2: x lẻ. Dễ thấy y chẵn
\(\Rightarrow y=2^ny_1\)(y1 lẻ, \(y_1,n\in N\)
\(\Rightarrow2^{2x}.3^x+2^{4n}.y_1^4=2^{3x}.251^x\)
Vì x lẻ nên \(2x\ne4n\) vậy phương trình này vô nghiệm
Vậy phương trình chỉ có 1 bộ nghiệm duy nhất là \(x=y=0\)
