Question

Tìm trên trục hoành các điểm có hoành độ là số nguyên sao cho nếu qua điểm đó ta dựng đường thẳng vuông góc với trục hoành thì đường thẳng ấy cắt cả ba đường thẳng (d₁):x-2y=3 , (d₂):x-3y=2 , (d₃):x-5y= -7 tại các điểm có tọa độ là các số nguyên

Answer 1

Gọi các điểm thỏa mãn điều kiện có tọa độ là \(\left(a;0\right)\)

Khi đó hệ sau có nghiệm nguyên:\(\hept{\begin{cases}a-2y=3\\a-3y=2\\x-5y=-7\end{cases}\Rightarrow\frac{a-3}{2};\frac{a-2}{3};\frac{a+7}{5}}\) nguyên.

TH1: \(a\ge0.\)

\(\frac{a-3}{2}\in Z\) nên a lẻ; \(\frac{a+7}{5}\in Z\Rightarrow\) a chia 5 dư 3. Kết hợp hai điều kiện trên thì a có tận cùng là 3.

Khi đó a - 2 có tận cùng là 1. Vậy để \(\frac{a-2}{3}\in Z\) thì a - 2 = 3^4k \(\left(k\in N;k\ge1\right)\)

Vậy a = 2 +3^4k \(\left(k\in N;k\ge1\right)\)

TH2: a < 0

\(\frac{a-3}{2}\in Z\Rightarrow\)- a là số tự nhiên lẻ. \(\frac{a+7}{5}\in Z\Rightarrow\)  -a chia 5 dư 2. Vậy -a có tận cùng là 7, vậy a có tận cùng là 7.

Vậy thì a - 2 có tận cùng là 9. Vậy a - 2 = -3^4k+2 \(\left(k\in N;k\ge0\right)\)

Hay a = 2 - 3^4k+2 \(\left(k\in N;k\ge0\right)\)

Tóm lại các điểm thỏa mãn điều kiện của đề bài sẽ có tọa độ là \(\left(2+3^{4k};0\right)\) với \(\left(k\in N;k\ge1\right)\) hoặc \(\left(2-3^{4k+2};0\right)\) với \(\left(k\in N;k\ge0\right)\)