Chiến thuật của dạng này thì đặt ẩn phụ trung gian để tận dụng \(\left(a-b\right)^3+\left(a+b\right)^3\) giảm bớt ẩn vế trái:
Đặt \(z=x+\dfrac{7}{2}\) \(\Rightarrow2z=2x+7\)
\(\Rightarrow x^3+\left(x+1\right)^3+...+\left(x+7\right)^3=\left(z-\dfrac{7}{2}\right)^3+\left(z-\dfrac{5}{2}\right)^3+...+\left(z+\dfrac{7}{2}\right)^3\)
\(=8z^3+126z=\left(2z\right)^3+63.2z=\left(2x+7\right)^3+63\left(2x+7\right)\)
Đưa được pt về dạng:
\(\left(2x+7\right)^3+63\left(2x+7\right)=y^3\)
Đặt \(2x+7=t\)
\(\Rightarrow t\left(t^2+63\right)=y^3\)
Nhận thấy \(\left(t_0;y_0\right)\) là 1 nghiệm thì \(\left(-t_0;-y_0\right)\) cũng là 1 nghiệm nên chỉ cần xét với \(t\ge0\)
Khi đó lại kẹp được:
\(t^3\le t^3+63t< \left(t+4\right)^3\)
Tới đây bài toán có thể giải dễ dàng, chú ý là t luôn lẻ nên có thể loại được nghiệm
