a : 15 dư 8; a : 35 dư 13 và 200 < a < 300
Vì a : 15 dư 8 nên a = 15k + 8; k\(\in\)N
⇒ 200 < 15k < 300; k \(\in\) N
⇒ 13,3 < k < 20; k \(\in\) N ⇒ k \(\in\){14; 15; 16; 17; 18; 19} (1)
Mặt khác ta có: (15k + 8 - 13) ⋮ 35
⇒ (15k - 5) ⋮ 35
⇒ 5.(3k - 1)⋮ 35
⇒ (3k - 1)⋮ 7
⇒ 3k - 1 \(\in\) B(7) = {0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63;..}
⇒ k \(\in\) {\(\dfrac{1}{3}\); \(\dfrac{8}{3}\); \(\dfrac{13}{3}\); \(\dfrac{22}{3}\); \(\dfrac{29}{3}\); 12; \(\dfrac{43}{3}\); \(\dfrac{50}{3}\);19;\(\dfrac{64}{3}\);...;} (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có: k =19
Thay k = 19 vào biểu thức: a = 15k+8 ta có
a = 15.19 + 8
a = 293
Kết luận số tự nhiên thỏa mãn đề bài là: 293
Cách hai:
Vì a : 15 dư 8 và chia 35 dư 13 nên khi ta thêm 22 đơn vị thì a chia hết cho cả 15 và 35
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+22⋮15\\a+22⋮35\end{matrix}\right.\) ⇒ a + 22 \(\in\) BC(15; 35) (200 <a<300; a\(\in\)N)
⇒ 222 < a + 22 < 322
15 = 3.5; 35 = 5.7 ⇒ BCNN(15; 35) = 3.5.7 = 105
BC(15; 35) = {0; 105; 210; 315;...}
mà 222 < a + 22 < 322 và a \(\in\) BC(15;35)
⇒ a + 22 = 315
⇒ a = 315 - 22
⇒ a = 293
Kết luận: Vậy số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là 293
