ĐKXĐ: \(x\notin\left\{-3;1\right\}\)
Ta có: \(\frac{5x+1}{x+3}-\frac{3x-2}{x-1}>2\)(*)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(5x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}-\frac{\left(3x-2\right)\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}>\frac{2\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}\)
Suy ra: \(\left(5x+1\right)\left(x-1\right)-\left(3x-2\right)\left(x+3\right)>2\left(x+3\right)\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow5x^2-5x+x-1-\left(3x^2+9x-2x-6\right)>2\left(x^2-x+3x-3\right)\)
\(\Leftrightarrow5x^2-4x-1-\left(3x^2+7x-6\right)>2\left(x^2+2x-3\right)\)
\(\Leftrightarrow5x^2-4x-1-3x^2-7x+6>2x^2+4x-6\)
\(\Leftrightarrow2x^2-11x+5-2x^2-4x+6>0\)
\(\Leftrightarrow-15x+11>0\)
\(\Leftrightarrow-15x>-11\)(cộng hai vế của bất phương trình với -11)
hay \(x< \frac{11}{15}\)(nhân hai vế của bất phương trình cho \(\frac{-1}{15}\) và đổi chiều)
mà \(0< \frac{11}{15}< 1\)
nên x=0 là số nguyên x lớn nhất thỏa mãn bất phương trình (*)
Vậy: x=0 là số nguyên x lớn nhất thỏa mãn bất phương trình \(\frac{5x+1}{x+3}-\frac{3x-2}{x-1}>2\)
