Question

Tìm số nguyên tố `p` sao cho `p^2 +8` là số nguyên tố 

Answer 1

Trường hợp 1: p=3

=>p²+8=9+8=17(nhận)

Trường hợp 2: p=3k+1

\(A=p^2+8=\left(3k+1\right)^2+8=9k^2+6k+9\)(loại)

Trường hợp 3: p=3k+2

\(A=\left(3k+2\right)^2+8=9k^2+12k+4+8=9k^2+12k+12\)(loại)

Answer 2

Xét `p=2 => p^2 + 8 = 2^2 + 8 = 12` ( là hợp số )

`=> p \ne 2`

Xét `p=3 => 3^2 + 8 = 9+8=17` ( là số nguyên tố )`

`=> p=3`

Xét `p>3`

`=> p=3k+1` hoặc `p+3k+2` ( `k in NN )`

TH1 `:` `p=3k+1`

`=> p^2 + 8 = ( 3k+1)^2 + 8 = 9k^2 + 6x + 1 + 8 = 9k^2 + 6k + 9` \(\equiv\) `0` 

\(\pmod{3}\) ( là hợp số )

TH2 `:` `p=3k+2`

`=> p^2 + 8 = ( 3k+2)^2 + 8 = 9k^2 + 12k + 4 + 8 = 9k^2 + 12k + 12` \(\equiv\) `0`

\(\pmod{3}\) ( là hợp số )

Vậy `p=3`