Question

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(x^4+y^4+z^4+t^4=2020xyzt\)

Answer 1

Giả sử \(\left(x_0;y_0;z_0;t_0\right)\) là 1 bộ nghiệm nguyên của pt

\(x^4\) chia 5 chỉ có số dư là 0 hoặc 1

\(\Rightarrow x^4_0+y^4_0+z^4_0+t^4_0\) chia hết cho 5 khi và chỉ khi cả \(x_0;y_0;z_0;t_0\) cùng chia hết cho 5

Đặt \(\left(x_0;y_0;z_0;t_0\right)=\left(5x_1;5y_1;5z_1;5t_1\right)\)

\(\Rightarrow625\left(x_1^4+y_1^4+z_1^4+t_1^4\right)=625.2020x_1y_1z_1t_1\)

\(\Rightarrow x_1^4+y_1^4+z_1^4+t_1^4=2020x_1y_1z_1t_1\)

...

Theo quy tắc lùi vô hạn, pt trên có nghiệm duy nhất \(\left(0;0;0;0\right)\)