Trước hết ta có bổ đề: Cho a,b là các số nguyên dương và n,s là các số nguyên dương và \(\left(a,b\right)=1\). Khi đó nếu \(ab=n^s\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}a=c^s\\b=d^s\end{matrix}\right.\)
Chứng minh:
Giả sử a,b có phân tích thành tích các thừa số nguyên tố như sau (sở dĩ ta có điều này là do Định lí cơ bản về Số học):
\(\left\{{}\begin{matrix}a=\prod\limits^k_{i=1}p_i^{\alpha_i}\\b=\prod\limits^l_{j=1}q_j^{\beta_j}\end{matrix}\right.\), với \(p_i,q_j\) là các số nguyên tố đôi một khác nhau, và \(\alpha_i,\beta_j\) là các số nguyên dương, \(i=\overline{1,k};j=\overline{1,l}\).
Do \(ab=n^s\), nên \(\alpha_i,\beta_j⋮s\), do đó a,b là các luỹ thừa bậc s. Ta có điều phải chứng minh.
Quay lại bài toán, phương trình ban đầu tương đương: \(x^3=\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)\). Dễ thấy nếu \(\left(x_0,y_0\right)\) là một nghiệm của phương trình thì \(\left(x_0,-y_0\right)\) cũng là một nghiệm khác, do đó ta có thể giả sử \(y\ge0\). Ta để ý rằng \(\left(2y-1,2y+1\right)=1\), nên 2y-1, 2y+1 là 2 số lập phương của 2 số nguyên. Từ đó đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2y-1=a^3\\2y+1=b^3\end{matrix}\right.\), rồi trừ 2 vế --->giải phương trình ước số là xong.
