\(f\left(x\right)=x+\dfrac{2}{x-1}=x-1+\dfrac{2}{x-1}+1\ge2\sqrt{\dfrac{2\left(x-1\right)}{x-1}}+1=2\sqrt{2}+1\)
\(f\left(x\right)_{min}=2\sqrt{2}+1\)
Ta có: \(f\left(x\right)=x+\dfrac{2}{x-1}=x-1+\dfrac{2}{x-1}+1\)
Vì x > 1 nên x - 1 > 0 và \(\dfrac{2}{x-1}>0\)
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương \(x-1;\dfrac{2}{x-1}\) ta được:
\(x-1+\dfrac{2}{x-1}\ge2.\sqrt{x-1.\dfrac{2}{x-1}}=2\sqrt{2}\)
\(=>f\left(x\right)=x-1+\dfrac{2}{x-1}+1\ge2\sqrt{2}+1\)
⇒ Giá trị bé nhất của f(x) là 2√2 + 1 .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x - 1 = \(\dfrac{2}{x-1}\) và x > 1 ⇔ x = 1 + √2
\(f\left(x\right)=x\dfrac{2}{x-1}=x-1+\dfrac{2}{x-1}+1\)
