Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

B=3\(x^2\)-5x+7

E=\(\left(x-3\right)^2\)+\(\left(x-2\right)^2\)

F=\(\dfrac{15}{6x-x^2-14}\)

Answer 1

Lời giải:

\(B=3x^2-5x+7=3(x^2-\frac{5}{3}x+\frac{5^2}{6^2})+\frac{59}{12}\)

\(=3(x-\frac{5}{6})^2+\frac{59}{12}\)

Vì \((x-\frac{5}{6})^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow B\geq 3.0+\frac{59}{12}=\frac{59}{12}\)

Vậy GTNN của $B=\frac{59}{12}$ khi $x=\frac{5}{6}$

---------------

\(E=(x-3)^2+(x-2)^2=(x^2-6x+9)+(x^2-4x+4)\)

\(=2x^2-10x+13=2(x^2-5x+\frac{5^2}{2^2})+\frac{1}{2}\)

\(=2(x-\frac{5}{2})^2+\frac{1}{2}\geq 2.0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Vậy \(E_{\min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\)

Answer 2

\(F=\frac{15}{6x-x^2-14}=\frac{15}{-(x^2-6x+14)}=\frac{15}{-[(x^2-6x+9)+5]}=\frac{15}{-5-(x-3)^2}\)

Ta thấy \((x-3)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow -5-(x-3)^2\leq -5\)

\(\Rightarrow \frac{1}{-5-(x-3)^2}\geq \frac{1}{-5}\)

\(\Rightarrow \frac{15}{-5-(x-3)^2}\geq \frac{15}{-5}=-3\)

hay \(F\geq -3\)

Vậy GTNN của $F=-3$ khi $x=3$