Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(M=\left|\left(x-2020\right)\left(x^2-16\right)\right|+2x\left(x-4\right)+8\left(4-x\right)+2021\)

Answer 1

M = |(x - 2020)(x² - 16)| + 2x(x - 4) + 8(4 - x ) + 2021

=  |(x - 2020)(x² - 16)| + 2x(x - 4) - 8(x - 4 ) + 2021

=  |(x - 2020)(x² - 16)| + (x - 4)(2x - 8) + 2021

= |(x - 2020)(x² - 16)| + 2(x - 4)² + 2021 

Lại có \(\hept{\begin{cases}\left|\left(x-2020\right)\left(x^2-16\right)\right|\ge0\forall x\\2\left(x-4\right)^2\ge0\forall x\end{cases}}\)

=> |(x - 2020)(x² - 16) + 2(x - 4)² + 2021 \(\ge2021\forall x\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\left(x-2020\right)\left(x^2-16\right)=0\\2\left(x-4\right)^2=0\end{cases}}\)

Khi (x - 2020)(x² - 16) = 0 

=> \(\orbr{\begin{cases}x-2020=0\\x^2-16=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2020\\x=\pm4\end{cases}}\)(1)

Khi 2(x - 4)² = 0

=> x -  4 = 0

=> x = 4 (2)

Từ (1) (2) => x = 4 

Vậy Min M = 2021 <=> x = 4