\(y=\dfrac{cosx+2sinx+3}{2cosx-sinx+4}\)
=>\(cosx+2\cdot sinx+3=2y\cdot cosx-y\cdot sinx+4y\)
=>\(sinx\left(2+y\right)+cosx\left(1-2y\right)=4y-3\)(1)
Để phương trình (1) có nghiệm thì \(\left(y+2\right)^2+\left(1-2y\right)^2>=\left(4y-3\right)^2\)
=>\(y^2+4y+4+4y^2-4y+1>=16y^2-24y+9\)
=>\(5y^2+5-16y^2+24y-9>=0\)
=>\(-11y^2+24y-4>=0\)
=>\(11y^2-24y+4< =0\)
=>\(11y^2-22y-2y+4< =0\)
=>11y(y-2)-2(y-2)<=0
=>(y-2)(11y-2)<=0
=>\(\dfrac{2}{11}< =y< =2\)
Vậy: \(y_{min}=\dfrac{2}{11};y_{max}=2\)
\(y=cos^4x+sin^2x-2\). Đặt \(t=cos^2x\left(t\in\left[0;1\right]\right)\).
Khi đó \(y=t^2-t-1\).
Xét bảng biến thiên:
Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}Min\left(y\right)=-\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow cos^2x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\\Max\left(y\right)=1\Leftrightarrow t=\Leftrightarrow cos^2x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)
trên khoảng (−
∞
;+
∞
);
trên khoảng 