Question

tìm a,b,c là số nguyên tố và d là số nguyên dương

biết: ab+bc+ca=4d^2

Answer 1

Lời giải:

Nếu $a,b,c$ đều là số nguyên tố lẻ thì $ab+bc+ac$ lẻ, mà $4d^2$ chẵn nên vô lý (loại)

Nếu $a,b,c$ có 1 chẵn, 2 lẻ thì $ab+bc+ac$ vẫn lẻ (loại)

Nếu $a,b,c$ có 2 chẵn, 1 lẻ thì không mất tính tổng quát, giả sử $a=b=2$ và $c$ lẻ thì:

$4+4c=4d^2$

$c+1=d^2$

$c=(d-1)(d+1)$. Vì $c$ nguyên tố nên $d-1=1$ và $d+1=c$

$\Rightarrow c=3$

Vậy $(a,b,c)=(2,2,3)$ và hoán vị.

Nếu $a,b,c$ đều chẵn thì $a=b=c=2$. Khi đó $d=\sqrt{3}\not\in\mathbb{Z}$ (vô lý)