Cho tam jac ABC I la 1 diem bat ki nam trong tam jac cac tia AI ,BI, CI cat BC, CA, AB lan luot tai M, N, K, C chung minh rang\(\sqrt{\dfrac{AI}{IM}}+\sqrt{\dfrac{IB}{IN}}+\sqrt{\dfrac{IC}{IK}}\ge3\sqrt{2}\)
Cho I là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC . Các đường thẳng AI,BI,CI tương ứng cắt các cạnh BC,CA,AB tại các điểm M,N,P . Tìm vị trí của điểm I sao cho Q =IA/IM*IB/IC*IC/IP đạt giá trị nhỏ nhất giúp mình nhé 💕💕💕💕💕
Cho tam giác ABC, O là điểm bất kì nằm tring tamm giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB tại P, Q, R. Chứng minh: \(\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OB}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}\ge3\sqrt{2}\)
đường tròn tâm (I) nội tiếp tam giác ABC , (I) cắt AB tại F cắt Bc tại D và cắt AC tại E . Ad cắt (I) tại M . AI cắt EF tại K . chứng minh \(\dfrac{IA^2}{AB\cdot AC}+\dfrac{IB^2}{BC\cdot BA}+\dfrac{IC^2}{CA\cdot CB}=1\)
Đề ôn chuyên Toán lần 1
1, a, Rút gọn \(P=\left[\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{3\sqrt{xy}}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}\right].\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{3\sqrt{xy}}{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}\right):\frac{x-y}{x+\sqrt{xy}+y}\right]\) (1,5 điểm )
b, Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(x^3-y^3=6xy+3\) (1,5 điểm )
2, Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (d): y = \(\frac{2m-4}{2m+5}+4-2m\left(m\ne-\frac{5}{2}\right)\) .Tìm m để (d) cắt Ox , Oy tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB lớn nhất . Tính giá trị lớn nhất đó ( 3 điểm )
3 , a, Giải phương trình \(\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3\) ( 3 điểm )
b, Giải hệ phương trình (3 điểm ) \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{2x+y}=3-2x-y\\x^2-2xy=y^2+2\end{matrix}\right.\)
4, Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) . đường tròn tâm J đường kính BC cắt AB,AC ở E và F. Gọi H và K lần lượt là trực tâm tam giác ABC , AEF .Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF
a, Chứng minh A,I,H thẳng hàng ( 2 điểm ) b, Chứng minh KH , EF, IJ đồng quy (2 điểm )
5, Cho a,b,c >0 và abc=1 . Chứng minh \(\frac{ab}{a^4+b^4+ab}+\frac{bc}{b^4+c^4+bc}+\frac{ca}{c^4+a^4+ca}\le1\) ( 2 điểm )
6, CHO (O) . ĐIỂM A Ở NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN VẼ 2 TIẾP TUYẾN AB ,AC VÀ CÁT TUYẾN ADE ( D NẰM GIỮA A VÀ E ) . ĐƯỜNG THẲNG QUA D // AB CẮT BC,BE Ở H VÀ K . CHỨNG MINH DH=HK (2 ĐIỂM )
1 . Cho a,b,c thực dương t.m: a+b+c=2
CMR: \(P=\frac{ab}{\sqrt{\left(ab+2c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(bc+2a\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(ca+2b\right)}}\le1\)
2 . Cho tam giác ABC nhọn có góc BAC> góc ACB. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M,N,E. Gọi K là giao điểm của BO và NE. Chứng minh
a ) \(\widehat{AOB}=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\)
b )
b) 5 điểm A, M, K, O, E cùng thuộc một đường tròn
c Gọi T là giao điểm BO với AC. Chứng minh: KT.BN = KB.ET
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=1.
CMR: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge3+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}\)
Câu 1 a, Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}3x^3-y^3=\frac{1}{x+y}\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\)
b, Giải phương trình \(\sqrt{3-2x}+\sqrt[3]{5+3x}=3\)
c, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(\frac{x^2-4}{x}+\frac{y^2-4}{y}+8=4\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}\right)\)
Câu 2 a , Với a;b;c là 3 số thực đôi một phân biệt chứng minh rằng
\(\frac{2a+b}{a-b}+\frac{2b+c}{b-c}+\frac{2c+a}{c-a}=\frac{\left(2a+b\right)\left(2b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{\left(2b+c\right)\left(2c+a\right)}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{\left(2c+a\right)\left(2a+b\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+3\)
b, So sánh A và 1 . biết A = \(\frac{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9}}}}{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9}}}}}\)
c, Chứng minh bc là số chính phương biết a,b,c là các số nguyên và thỏa mãn \(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}=\frac{2c}{b+c}\)
Câu 3 a, Cho tam giác ABC đều . Trên tia đối tia CB lấy D sao cho góc CAD = 15 độ . Đường thẳng vuông góc vơi BC tại C cắt AD ở E . Tia phân giác góc ABC cắt AD tại K . Chứng minh AK= DE
b, Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 15 độ . Các điểm E , F lần lượt nằm trên các cạnh AC,AB sao cho góc ABE = 10 độ và góc ACF = 30 độ . Tính số đo góc CFE
c,Cho tam giác ABC trên tia BA lấy M , trên tia CA lấy N sao cho BM=CN. chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
Câu 4 a, Tìm số nguyên tố p để p^3-4p+9 là số chính phương
b,Cho 2 đường thẳng (d1): mx+(m-2)y+m+2=0 và đường thẳng (d2): (2-m)x+my-m-2=0 . Chứng minh hai đường thẳng (d1) và (d2) luôn cắt nhau tại 1 điểm H và khi m thay đổi thì H luôn nằm trên 1 đường tròn cố định
Câu 5 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB =2R.Gọi C là trung điểm AO . Vẽ tia Cx vuông với AB cắt nửa đường tròn tại I . Lấy K bất kì thuộc CI (K khác C và I).Tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M ; tia BM cắt tia Cx tại D . Vẽ tiếp tuyến nửa đường tròn (O) tại M cắt tia Cx tại N . chứng minh
a, Tam giác MNK cân b,Tính diện tích tam giác ABD theo R khi K là trung điểm CI
c, Khi K di động trên CI . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD đi qua điểm cố định thứ hai khác A
Câu 6 a, Cho a,b,c>0 và a+b+c=3 Tính GTNN của E = \(\frac{1}{a^2b+2}+\frac{1}{b^2c+2}+\frac{1}{c^2a+2}\)
b, Cho a, b là các số thực thỏa a+b khác 0 . Chứng minh \(a^2+b^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\ge2\)
Bài 1: cho đường tròn (O;R) có dấy BC cố định. Một điểm A di động trên cung lớn BC. Gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác ABC. Các tia AI,BI,CI cắt (O) lần lượt tại điểm thứ hai D,E,F. DE,DF cắt AB,AC theo thứ tự tại M,N. Chứng minh 3 điểm M,I,N thẳng hàng
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C với (O) cắt nhau tại M, đường thẳng AM cắt (O) tại N. Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng vuông góc với NC tại C với (O) và BN. AP cắt BC tại E. MO cắt PQ ở D. Chứng minh1) tứ giác AMBD nội tiếp2) Ba điểm M,Q,E thẳng hàng
