Question

Đề ôn chuyên Toán lần 1

1, a, Rút gọn \(P=\left[\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{3\sqrt{xy}}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}\right].\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{3\sqrt{xy}}{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}\right):\frac{x-y}{x+\sqrt{xy}+y}\right]\) (1,5 điểm )

b, Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(x^3-y^3=6xy+3\) (1,5 điểm )

2, Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (d): y = \(\frac{2m-4}{2m+5}+4-2m\left(m\ne-\frac{5}{2}\right)\) .Tìm m để (d) cắt Ox , Oy tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB lớn nhất . Tính giá trị lớn nhất đó ( 3 điểm )

3 , a, Giải phương trình \(\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3\) ( 3 điểm )

b, Giải hệ phương trình (3 điểm ) \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{2x+y}=3-2x-y\\x^2-2xy=y^2+2\end{matrix}\right.\)

4, Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) . đường tròn tâm J đường kính BC cắt AB,AC ở E và F. Gọi H và K lần lượt là trực tâm tam giác ABC , AEF .Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF

a, Chứng minh A,I,H thẳng hàng ( 2 điểm ) b, Chứng minh KH , EF, IJ đồng quy (2 điểm )

5, Cho a,b,c >0 và abc=1 . Chứng minh \(\frac{ab}{a^4+b^4+ab}+\frac{bc}{b^4+c^4+bc}+\frac{ca}{c^4+a^4+ca}\le1\) ( 2 điểm )

6, CHO (O) . ĐIỂM A Ở NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN VẼ 2 TIẾP TUYẾN AB ,AC VÀ CÁT TUYẾN ADE ( D NẰM GIỮA A VÀ E ) . ĐƯỜNG THẲNG QUA D // AB CẮT BC,BE Ở H VÀ K . CHỨNG MINH DH=HK (2 ĐIỂM )

Answer 1

Câu 1: ĐKXĐ:...

\(P=\left[\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{3\sqrt{xy}}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}\right]\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{3\sqrt{xy}}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\right)}\right).\frac{\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{x-y}\right]\)

\(=\frac{\left(x-\sqrt{xy}+y+3\sqrt{xy}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}\left(\frac{x+\sqrt{xy}+y-3\sqrt{xy}}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}\right).\left(\frac{x+\sqrt{xy}+y}{x-y}\right)\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\right)}.\frac{\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)

\(=\frac{1}{x-\sqrt{xy}+y}\)

b/

\(\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)=6xy+3\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\left(-y\right)=a\\x.\left(-y\right)=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2\ge4b\)

\(\Rightarrow a^3-3ab=-6b+3\)

\(\Leftrightarrow a^3-3=\left(3a-6\right)b\Rightarrow3b=\frac{a^3-2}{a-2}=a^2+2a+4+\frac{6}{a-2}\) (1)

a;b nguyên \(\Rightarrow\frac{6}{a-2}\) nguyên \(\Rightarrow a-2=Ư\left(6\right)=...\)

Sau đó thay ngược lại (1) để loại nghiệm và giải ra x;y

Answer 2

2. Đề bài bạn viết thiếu thì phải

3. a/

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4x^2+5x+1}=a\\\sqrt{4x^2-4x+4}=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a-b=a^2-b^2\Leftrightarrow a-b=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a+b=1\end{matrix}\right.\)

- Với \(a=b\Rightarrow9x-3=0\Rightarrow x=...\)

- Với \(a+b=1\Rightarrow\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{4x^2-4x+4}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{\left(2x-1\right)^2+3}=1\)

\(VT\ge\sqrt{3}>1\Rightarrow\) pt vô nghiệm

b/ ĐKXĐ: ...

\(2x+y+2\sqrt{2x+y}-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x+y}-1\right)\left(\sqrt{2x+y}+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+y}=1\Rightarrow y=1-2x\)

Thay vào pt dưới:

\(x^2-2x\left(1-2x\right)=\left(1-2x\right)^2+2\)

\(\Leftrightarrow...\) bạn tự giải

Answer 3

5.

\(a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}+\frac{bc}{bc\left(b^2+c^2\right)+bc}+\frac{ca}{ca\left(c^2+a^2\right)+ca}\)

\(VT\le\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\)

Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)

\(VT\le\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{xyz}{zx\left(x+z\right)+xyz}\)

\(VT\le\frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)