Question

tách

Answer 1

Câu d.
Đặt
a = 3n - 13, b = 2n + 3
thì
m = |6n^2 - 17n - 39| = |(3n - 13)(2n + 3)| = |ab|

Lại có
2a - 3b = 2(3n - 13) - 3(2n + 3) = -35

Vì |ab| là lũy thừa của một số nguyên tố nên mọi ước nguyên tố của a và b đều chỉ có thể là cùng một số nguyên tố p
Mà ƯCLN(a,b) chia 35, nên p chỉ có thể là 5 hoặc 7, hoặc một trong hai số a,b bằng ±1

Xét từng trường hợp

Nếu a = ±1
3n - 13 = ±1
chỉ có 3n - 13 = -1 cho n = 4
khi đó n^2 + 1 = 17 là số nguyên tố

Nếu b = ±1
2n + 3 = ±1
suy ra n = -1 hoặc n = -2
khi đó
n^2 + 1 = 2 hoặc 5, đều là số nguyên tố

Nếu |ab| là lũy thừa của 5
do 2a - 3b = -35, vế phải chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25, nên không thể cả a,b cùng chia hết cho 25
thử các khả năng là lũy thừa của 5 thỏa 2a - 3b = -35, chỉ có
a = -25, b = -5
suy ra n = -4
khi đó n^2 + 1 = 17 là số nguyên tố

Nếu |ab| là lũy thừa của 7
tương tự, do -35 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 49, chỉ có thể xảy ra
a = -7, b = 7
suy ra n = 2
khi đó n^2 + 1 = 5 là số nguyên tố

Vậy các giá trị n thỏa mãn chỉ là
n = -4, -2, -1, 2, 4
và trong mọi trường hợp
n^2 + 1 là số nguyên tố

Answer 2

Câu e.
Giả sử k là số lẻ, đặt
S = n1^2 - n2^2 + n3^2 - n4^2 + ... + nk^2

Vì n1 < n2 < ... < nk là các số nguyên dương lẻ nên
n1 ≥ 1, n2 ≥ 3, n3 ≥ 5, ...
n_i ≥ 2i - 1

Đặt k = 2m + 1
khi đó
S = n1^2 + (n3^2 - n2^2) + (n5^2 - n4^2) + ... + (n_{2m+1}^2 - n_{2m}^2)

Với mọi j = 1,2,...,m, do n_{2j+1} và n_{2j} là các số lẻ liên tiếp theo thứ tự tăng nên
n_{2j+1} ≥ n_{2j} + 2
suy ra
n_{2j+1}^2 - n_{2j}^2 ≥ (n_{2j} + 2)^2 - n_{2j}^2 = 4n_{2j} + 4

Mà
n_{2j} ≥ 4j - 1
nên
n_{2j+1}^2 - n_{2j}^2 ≥ 4(4j - 1) + 4 = 16j

Lại có
n1^2 ≥ 1

Do đó
S ≥ 1 + 16(1 + 2 + ... + m)
= 1 + 16.m(m+1)/2
= 1 + 8m(m+1)

Vì k = 2m + 1 nên
2k^2 - 1 = 2(2m+1)^2 - 1 = 8m(m+1) + 1

Suy ra
S ≥ 2k^2 - 1

Dấu bằng xảy ra khi
n1 = 1, n2 = 3, n3 = 5, ..., nk = 2k - 1

Vậy
n1^2 - n2^2 + n3^2 - n4^2 + ... + nk^2 ≥ 2k^2 - 1.