Question

Rút gọn phân thức:M=(x^7+x^2+1)/(x^5-x^4+x^2-x+1) ta được đa thức A(x).Giá trị nhỏ nhất của đa thức A(x) bằng?

 

Answer 1

Lời giải:
Ta thấy:

$x^7+x^2+1=(x^7-x)+(x^2+x+1)$
$=x(x^6-1)+(x^2+x+1)=x(x^3-1)(x^3+1)+(x^2+x+1)$

$=x(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)+(x^2+x+1)=(x^2+x+1)[x(x-1)(x^3+1)+1]$

$=(x^2+x+1)(x^5-x^4+x^2-x+1)$

$\Rightarrow M=\frac{(x^2+x+1)(x^5-x^4+x^2-x+1)}{x^5-x^4+x^2-x+1}=x^2+x+1$

$=(x^2+x+\frac{1}{4})+\frac{3}{4}=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$

Vậy $M_{\min}=\frac{3}{4}$. 

Giá trị này đạt được khi $x+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$