Question

nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 20\).

Câu 13: Chứng minh rằng phương trình bậc hai: \(x^2 - mx - 8 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) và biểu thức \(M = \frac{2x_1^2 + 5x_1 - 16}{3x_1} + \frac{2x_2^2 + 5x_2 - 16}{3x_2}\) có giá trị không phụ thuộc vào tham số \(m\).

Answer 1

Ta có: \(x^2-mx-8=0\)

Vì \(a\cdot c=1\cdot\left(-8\right)=-8<0\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu

\(M=\frac{2x_1^2+5x_1-16}{3x_1}-\frac{2x_2^2+5x_2-16}{3x_2}\)

\(=\frac23\cdot x_1+\frac53-\frac{16}{3x_1}-\frac23\cdot x_2-\frac53+\frac{16}{3x_2}=\frac23\left(x_1-x_2\right)-\frac{16}{3}\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)\)

\(=\frac23\left(x_1-x_2\right)-\frac{16}{3}\cdot\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=\frac23\left(x_1-x_2\right)+\frac{16}{3}\cdot\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}\)

\(=\frac23\left(x_1-x_2\right)+\frac{16}{3}\cdot\frac{x_1-x_2}{-8}=\frac23\left(x_1-x_2\right)-\frac23\left(x_1-x_2\right)=0\)

=>M không phụ thuộc vào biến số m