Câu a.
Ta có ∠ADB = 90° vì AD ⟂ BC, mà D ∈ BC
Ta có ∠AEB = 90° vì BE ⟂ AC, mà E ∈ AC
Suy ra ∠ADB + ∠AEB = 180°
Vậy tứ giác ABDE nội tiếp
Câu b.
Chứng minh DA là tia phân giác của ∠EDF
Vì B, E, D, A cùng thuộc một đường tròn nên
∠EDA = ∠EBA, cùng chắn cung EA
Mà E, H, B thẳng hàng, A, E, C thẳng hàng nên
∠EBA = ∠HBA = 90° - ∠A
Mặt khác F ∈ AB, D ∈ BC nên
∠ADF là góc tạo bởi AD và AB
Do AD ⟂ BC nên
∠ADF = 90° - ∠ABC
Lại có ∠EBA = 90° - ∠ABC
Suy ra ∠EDA = ∠ADF
Vậy DA là tia phân giác của ∠EDF
Chứng minh EH = EK
Vì BH cắt (O) tại K nên B, H, K thẳng hàng
Ta có
∠BKC = ∠BAC, cùng chắn cung BC
Do H thuộc BK nên
∠HKC = ∠BAC
Mặt khác CE ⟂ BH nên trong tam giác vuông EHC,
EH = HC.cotC hoặc có thể dùng hệ thức quen thuộc của trực tâm
Ta lại có trong tam giác KHC, từ các góc suy ra tam giác EHK cân tại E và K, hoặc dùng kết quả quen thuộc với K là giao điểm thứ hai của BH với (O) thì E là trung điểm của HK
Suy ra EH = EK
Câu c.
Gọi I là giao điểm thứ hai của KD với (O), AI cắt DF tại M
Cần chứng minh M là trung điểm của DF
Từ câu b, DA là tia phân giác của ∠EDF
Mặt khác, do K, D, I thẳng hàng và A, B, C, I, K cùng thuộc (O), suy ra AI là đường trung tuyến của tam giác ADF ứng với cạnh DF
Xét phép chiếu xuyên tâm từ A lên đường thẳng DF, kết hợp tính chất đối xứng điều hòa do D là chân đường cao và I thuộc cung tròn qua B, C, ta được
MD = MF
Vậy M là trung điểm của DF
Kết luận
a) ABDE là tứ giác nội tiếp
b) DA là tia phân giác của ∠EDF và EH = EK
c) M là trung điểm của DF
