a/
Ta có
\(AB\perp OA\)
\(AD\perp OD\) (Trong đường tròn đường thẳng đi qua tâm và đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung)
=> B và D cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông => B và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AO tâm I là trung điểm của AO
=> ABOM là tứ giác nội tiếp
b/ Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ABD\) có
\(\widehat{BAD}\) chung (1)
\(sđ\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(sđ\widehat{ADB}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AC (góc nội tiếp đường tròn)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADB}\) (2)
Từ (1) và (2) => tg ABC đồng dạng với tg ABD
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AB^2=AC.AD\left(đpcm\right)\)
c/ Xét (I) có
\(\widehat{AEO}=90^o\Rightarrow AE\perp OE\)
Mà E là giao của (I) với (O) => \(E\in\left(O\right)\) => OE là bán kính của (O)
=> AE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d/
Xét tg vuông AOB và tg vuông AOE có
AB=AE (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1điểm)
OB=OE=R
=> tg AOB = tg AOE (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{AOE}\)
Xét tg vuông AOB có
\(\cos\widehat{AOB}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{AOB}=60^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BOE}=\widehat{AOB}+\widehat{AOE}=120^o\)
\(\Rightarrow S_{OBE}=\dfrac{\pi R^2.\widehat{BOE}}{360^o}=\dfrac{\pi R^2}{3}\)
