\(f'\left(x\right)=x^4+\left(m-6\right)x^3-3\left(2m+1\right)x^2+18x\)
\(=x\left[x^3-6x^2-3x+18-m\left(x^2-6x\right)\right]\)
\(=x\left[\left(x^2-3\right)\left(x-6\right)-mx\left(x-6\right)\right]\)
\(=x\left(x-6\right)\left(x^2-mx-3\right)\)
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=6\\x^2-mx-3=0\end{matrix}\right.\)
Xét (1); ta có \(ac=-3< 0\) nên (1) luôn có 2 nghiệm pb trái dấu \(x_1< 0< x_2\)
Nếu \(x_2=6\Rightarrow m=-\dfrac{11}{2}\Rightarrow x_1=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow\)hàm nghịch biến trên \(\left(-\dfrac{1}{2};0\right)\) có độ dài bằng \(\dfrac{1}{2}\) (ktm)
Nên ta chỉ có 2 TH xảy ra như sau: \(\left[{}\begin{matrix}x_1< 0< x_2< 6\\x_1< 0< 6< x_2\end{matrix}\right.\)
TH1: \(x_1< 0< x_2< 6\)
Nhìn trục dấu y' \(\Rightarrow\) tổng độ dài các khoảng nghịch biến của hàm là:
\(\left(0-x_1\right)+\left(6-x_2\right)=2\Leftrightarrow x_1+x_2=4\)
Theo Viet: \(x_1+x_2=m\)
\(\Rightarrow m=4\)
TH2: \(x_1< 0< 6< x_2\)
Tổng độ dài các khoảng nghịch biến là:
\(\left(0-x_1\right)+\left(x_2-6\right)=2\)
\(\Leftrightarrow x_2-x_1=8\)
Kết hợp \(x_1x_2=-3\) \(\Rightarrow x_2\left(x_2-8\right)=-3\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_2=4+\sqrt{13}\\x_2=4-\sqrt{13}< 6\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1=-4+\sqrt{13}\)
Thế vào Viet: \(x_1+x_2=m\Rightarrow m=2\sqrt{13}\)
Vậy \(m=\left\{4;2\sqrt{13}\right\}\)
