a: Xét ΔOAB và ΔOCD có
\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(AB//CD)
\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔOAB~ΔOCD
=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)
=>\(\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OD}{OB}\)
=>\(\dfrac{OC+OA}{OA}=\dfrac{OD+OB}{OB}\)
=>\(\dfrac{AC}{OA}=\dfrac{BD}{OB}\)
=>\(AC\cdot OB=AO\cdot BD\)
b: Xét ΔADC có OM//DC
nên \(\dfrac{OM}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\left(1\right)\)
Xét ΔBDC có ON//DC
nên \(\dfrac{ON}{DC}=\dfrac{BO}{BD}\left(2\right)\)
Ta có: \(\dfrac{AC}{OA}=\dfrac{BD}{OB}\)
=>\(\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{OB}{BD}\left(3\right)\)
Từ (3),(2),(1) suy ra OM=ON
Tham khảo:
a) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(AB\). Khi đó, ta có hai tam giác vuông \(OAH\) và \(OBH\).
Trong tam giác \(OAH\), ta có:
\[\frac{OA}{AH} = \frac{OD}{BD} \quad (1)\]
Trong tam giác \(OBH\), ta có:
\[\frac{OB}{BH} = \frac{OC}{AC} \quad (2)\]
Nhân cả hai phương trình (1) và (2), ta được:
\[\frac{OA}{AH} \times \frac{OB}{BH} = \frac{OD}{BD} \times \frac{OC}{AC}\]
\[OA \times OB = \frac{AH \times BH \times OD \times OC}{BD \times AC}\]
Do đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\), nên \(AH \times BH = OH^2\) (vì \(OH\) là đường cao của tam giác \(OAB\)), \(OD \times OC = OD \times OC\) (vì \(OD\) và \(OC\) là đường cao của tam giác \(OCD\)), nên:
\[OA \times OB = \frac{OH^2 \times OD \times OC}{BD \times AC}\]
\[OA \times OB = \frac{OD \times OC \times OH^2}{BD \times AC}\]
Nhưng ta biết rằng \(OH^2 = OA \times OB\), từ đó suy ra \(OA \times OB = OA \times OB\).
Vậy, \(OA \times OB = OA \times OB\), điều này đã được chứng minh.
b) Ta có thể sử dụng định lí hình chiếu góc bằng nhau để chứng minh rằng \(OM = ON\). Cụ thể, ta có hai tam giác vuông \(OAM\) và \(OBN\) có:
\[\angle OAM = \angle OBN\]
\[\angle AOM = \angle BON = 90^\circ\]
Vì vậy, các tam giác \(OAM\) và \(OBN\) đồng dạng theo góc và cạnh nên \(OM = ON\).
