Hello everyone! Today, i will give you 2 questions about Maths, oK??
You should use English if you can :)
Bài 1: Cho \(a,b,c\) dương thỏa mãn a + b + c = 2020
Tìm Min của: \(P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)
Bài 2: Cho \(a,b,c\) dương thỏa mãn abc = 1
Chứng minh: \(\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}+\frac{1}{\sqrt{bc+c+2}}+\frac{1}{\sqrt{ca+a+2}}\le\frac{3}{2}\)
Gợi ý B2: Sử dụng BĐT phụ \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Good luck !!
Đặt \(\left(a,b,c\right)\rightarrow\left(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x}\right)\)
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{xy+xz+2yz}}\)
\(\Rightarrow VT^2\le\left(1+1+1\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{yz}{xy+xz+2yz}\right)\)\(\le\frac{3}{4}\left[\Sigma_{cyc}yz\left(\frac{1}{xy+yz}+\frac{1}{xz+yz}\right)\right]=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài 1: Bổ đề: \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{4a^2+2ab+4b^2}+\sqrt{4b^2+2bc+4c^2}+\sqrt{4c^2+2ca+4a^2}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2\right)+\left(a+b\right)^2}+\sqrt{3\left(b^2+c^2\right)+\left(b+c\right)^2}+\sqrt{3\left(c^2+a^2\right)+\left(c+a\right)^2}\right)\)
\(\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{3}{2}\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{3}{2}\left(b+c\right)^2+\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\frac{3}{2}\left(c+a\right)^2+\left(c+a\right)^2}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{5}{2}\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{5}{2}\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\frac{5}{2}\left(c+a\right)^2}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\)\(=\frac{\sqrt{5}}{2}.2\left(a+b+c\right)=\sqrt{5}.2020\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2020}{3}\)
Úi úi Idol ơi, cái dấu Sigma viết ở đâu đấy nhỉ, chứ viết thế này mỏi tay.
\(P=\Sigma_{cyc}\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)=2020\sqrt{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2020/3
e thừa bt mấy anh toàn là 2k6 > e mà e ms 2k7 nên mấy a đừng gọi là idol nx ;), dấu sigma em copy bên hh
Em 2k7 mà Idol, tại em thấy cái dấu sigma không thấy bên olm mà Idol vẫn viết được nên e thắc mắc??
Xét bất đẳng thức phụ \(2\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\sqrt{5}\left(x+y\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow8x^2+4xy+8y^2\ge5x^2+10xy+5y^2\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*
Áp dụng, ta được: \(P=\Sigma_{cyc}\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{5}\left(a+b\right)}{2}=\sqrt{5}\left(a+b+c\right)=2020\sqrt{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2020/3
tại sao phải dùng tiếng Anh chứ :v
