a: ĐKXĐ: a>0; a<>1
\(\left(\frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\right)^2\)
\(=\left(\frac{a-1}{2\sqrt{a}}\right)^2=\frac{\left(a-1\right)^2}{4a}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2\cdot\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{4a}\)
Ta có: \(\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2-\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\cdot\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
\(=\frac{a-2\sqrt{a}+1-a-2\sqrt{a}-1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}=\frac{-4\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
Ta có: \(G=\left(\frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\right)^2\cdot\left(\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2\cdot\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{4a}\cdot\frac{-4\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}=\frac{-\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}}=\frac{-a+1}{\sqrt{a}}\)
b: G<0
=>\(\frac{-a+1}{\sqrt{a}}<0\)
=>-a+1<0
=>-a<-1
=>a>1
c: G=-2
=>\(-a+1=-2\sqrt{a}\)
=>\(-a+1+2\sqrt{a}=0\)
=>\(a-2\sqrt{a}-1=0\)
=>\(a-2\sqrt{a}+1-2=0\)
=>\(\left(\sqrt{a}-1\right)^2=2\)
=>\(\left[\begin{array}{l}\sqrt{a}-1=\sqrt2\\ \sqrt{a}-1=-\sqrt2\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}\sqrt{a}=\sqrt2+1\\ \sqrt{a}=-\sqrt2+1<0\left(loại\right)\end{array}\right.\)
=>\(\sqrt{a}=\sqrt2+1\)
=>\(a=\left(\sqrt2+1\right)^2=3+2\sqrt2\) (nhận)
Tham khảo ạ:
a) Rút gọn G G = ( a 2 − 1 2 a ) 2 ( a − 1 a + 1 − a + 1 a − 1 ) G=( 2 a − 2 a 1 ) 2 ( a a −1 + a −1 1− a +1 ) Đầu tiên, rút gọn biểu thức trong ngoặc thứ nhất: a 2 − 1 2 a = a 2 − 1 2 a = a ⋅ 2 a − 2 2 2 a = 2 a − 2 2 2 a 2 a − 2 a 1 = 2 a − 2 a 1 = 2 2a a ⋅2 a − 2 = 2 2a 2a− 2 Tiếp theo, rút gọn biểu thức trong ngoặc thứ hai: a − 1 a + 1 − a + 1 a − 1 = a − 1 a + 2 − a a − 1 = ( a − 1 ) 2 + a ( 2 − a ) a ( a − 1 ) a a −1 + a −1 1− a +1 = a a −1 + a −1 2− a = a ( a −1) ( a −1) 2 + a (2− a ) = a − 2 a + 1 + 2 a − a a ( a − 1 ) = 1 a ( a − 1 ) = a ( a −1) a−2 a +1+2 a −a = a ( a −1) 1 Thay cả hai biểu thức đã rút gọn vào G: G = ( 2 a − 2 2 2 a ) 2 ⋅ 1 a ( a − 1 ) G=( 2 2a 2a− 2 ) 2 ⋅ a ( a −1) 1 G = ( 2 a − 2 ) 2 8 a ⋅ 1 a ( a − 1 ) = ( 2 a − 2 ) 2 8 a a ( a − 1 ) G= 8a (2a− 2 ) 2 ⋅ a ( a −1) 1 = 8a a ( a −1) (2a− 2 ) 2 b) Tìm a để G < 0 Để G < 0 G<0, ta cần xét dấu của các thành phần trong biểu thức đã rút gọn: G = ( 2 a − 2 ) 2 8 a a ( a − 1 ) G= 8a a ( a −1) (2a− 2 ) 2 ( 2 a − 2 ) 2 (2a− 2 ) 2 luôn dương hoặc bằng 0. 8 a a 8a a luôn dương khi a > 0 a>0. Vậy, dấu của G G phụ thuộc vào dấu của ( a − 1 ) ( a −1). Để G < 0 G<0, ta cần ( a − 1 ) < 0 ( a −1)<0, suy ra: a < 1 a <1 a < 1 a<1 Kết hợp với điều kiện a > 0 a>0 và a ≠ 1 a =1 (vì mẫu số phải khác 0), ta có: 0 < a < 1 0<a<1 c) Tìm a để G = -2 G = ( 2 a − 2 ) 2 8 a a ( a − 1 ) = − 2 G= 8a a ( a −1) (2a− 2 ) 2 =−2 ( 2 a − 2 ) 2 = − 16 a a ( a − 1 ) (2a− 2 ) 2 =−16a a ( a −1) 4 a 2 − 4 2 a + 2 = − 16 a 2 + 16 a a 4a 2 −4 2 a+2=−16a 2 +16a a 20 a 2 − 4 2 a + 2 = 16 a a 20a 2 −4 2 a+2=16a a
