Bài 3.1
a) Thay m=-2 vào phương trình, ta được:
\(x^2+2\cdot x-3=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+3x-x-3=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+3\right)-\left(x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy: Khi m=-2 thì phương trình có tập nghiệm là S={-3;1}
\(x^2-2\left(m+1\right)x+2m+1=0\left(1\right)\)
Ta có : \(\Delta=b^2-4ac=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(2m+1\right)\)
\(=4\left(m^2+2m+1\right)-8m-4\)
\(=4m^2+8m+4-8m-4=4m^2=4m^2\)\(\ge0\forall m\)
Áp dụng \(vi-ét\) ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2\left(m+1\right)\\P=x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=2m+1\end{matrix}\right.\)
Ta có \(x^3_1+x^3_2=28\Leftrightarrow\left(x_1+x_1\right)\left[\left(x_1+x_2\right)-3x_1x_2\right]=28\)
\(\Rightarrow2\left(m+1\right)\left[2\left(m+1\right)-3\left(2m+1\right)\right]=28\)
\(\Rightarrow\left(2m+2\right)\left(2m+2-6m-3\right)=28\)
\(\Rightarrow\left(2m+2\right)\left(-4m-1\right)=28\)
\(\Rightarrow-8m^2-2m-8m-2-28=0\)
\(\Rightarrow8m^2+10m+30=0\)
\(\Rightarrow4m^2+5m+15=0\)
Ta có \(\Delta=b^2-4ac=5^2-4.4.15=-215< 0\)
Vậy \(m\in\varnothing\)
Với $m=-2$\(\Rightarrow x^2-2.\left(-2+1\right)x+2.-2+1=0\Rightarrow x^2+2x+1=4\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=2\\x+1=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\)
b, Xét phương trình (1) có dạng $ax^2+bx+c=0$ với \(\begin{matrix}a=1\ne 0\\b=-2\left(m+1\right)\Rightarrow \\c=2m+1\end{matrix}b'=-\left(m+1\right)\)
Nên pt (1) là phương trình bậc 2 một ẩn $x$
Có \(\triangle'=b'^2-ac=(-(m+1))^2-1.(2m+1)=m^2 \geq 0\)
Suy ra theo hệ thức Viet có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m+1\right)&\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=2m+1&\end{matrix}\right.\)
Nên
\(x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2.\left(x_1+x_2\right)\)
\(=\left(2\left(m+1\right)\right)^3-3.\left(2m+1\right).2.\left(m+1\right)\)
\(=8.\left(m^3+3m^2+3m+1\right)-6.\left(2m^2+3m+1\right)\)
\(=8m^3+12m^2+6m+2\)
Nên \(x_1^3+x_2^3=28\Leftrightarrow8m^3+12m^2+6m+2=28\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^3=27\)
\(\Leftrightarrow2m+1=3\Leftrightarrow m=1\left(t.m\right)\)
Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm
Gi
