Giả sử phân số \(\dfrac{n-4}{3n-11}\) không là phân số tối giản với \(n\) nguyên.
Khi đó, tồn tại số \(k\) nguyên khác 0 sao cho: \(n-4=k\left(3n-11\right)\)
\(\Leftrightarrow n-4=3nk-11k\)
\(\Leftrightarrow n-3nk=4-11k\)
\(\Leftrightarrow\left(1-3k\right)n=4-11k\)
\(\Leftrightarrow n=\dfrac{4-11k}{1-3k}\Leftrightarrow3n=\dfrac{12-33k}{1-3k}\)
Do \(n\in Z\Rightarrow3n\in Z\Rightarrow\dfrac{12-33k}{1-3k}\in Z\).
Ta có: \(\dfrac{12-33k}{1-3k}=\dfrac{11\left(1-3k\right)+1}{1-3k}=11+\dfrac{1}{1-3k}\in Z\).
Khi đó: \(\left(1-3k\right)\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}1-3k=1\\1-3k=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=0\left(loại\right)\\k=\dfrac{2}{3}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Từ đây, ta thấy không có giá trị \(k\) thỏa mãn, trái với giả thiết ban đầu.
Vậy: \(\dfrac{n-4}{3n-11}\) tối giản với mọi số nguyên \(n\) (đpcm).
