Question

Giải phương trình nhờ bất đẳng thức cô si:

\(x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\)

Answer 1

\(x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\)(ĐK :\(x\ge1\))

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{x-\frac{1}{x}}\)

\(\Leftrightarrow x^2+1-\frac{1}{x}-2x\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x-\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+1-2x\sqrt{1-\frac{1}{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x\right)-2\sqrt{x^2-x}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2-x}-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-x}=1\Leftrightarrow x^2-x-1=0\)

\(\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)(nhận) hoặc \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)(loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình : \(S=\left\{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\)

Về hướng giải bài bằng bất đẳng thức Cosi mình chưa nghĩa ra :))