Đề thi HSG quận Đống Đa - Hà Nội vòng 2 ( một trong 2 đề khó nhất chỉ sau quận Cầu Giấy )
Câu 1:(5đ)
1. Cho \(a,b,c\) là số thực thỏa mãn:
\(ab+bc+ca=2015\). Tính giá trị biểu thức:
\(P=\frac{a}{2015+a^2}+\frac{b}{2015+b^2}+\frac{c}{2015+c^2}-\frac{4030}{2015\left(a+b+c\right)-abc}\)
2. Cho \(a,b,c\) là các số nguyên thỏa mãn:
\(a^3+b^3=5c^3\)
CMR: \(a+b+c\) chia hết cho \(6\)
3. Tìm các cặp \(\left(x;y\right)\) nguyên thỏa mãn:
\(x^2\left(y^2+1\right)+y^2+24=12xy\)
Câu 2:(5đ)
a) \(3x+\sqrt{5-x}=2\sqrt{x-3}+11\)
b) \(2x^2+4x-8=\left(2x+3\right)\sqrt{x^2-3}\)
Câu 3:(2đ)
Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện:
\(x-\sqrt{x+1}=\sqrt{y+5}-y\)
Tìm GTLN của \(P=x+y\)
Câu 4:(6đ)
Qua \(M\) cố định ở ngoài đường tròn \(\left(O;R\right)\). Qua \(M\) kẻ các tiếp tuyến \(MA,MB\) ( \(A,B\) là các tiếp tuyến ). Qua \(P\) di động trên cung nhỏ \(AB\) ( \(P\) khác \(A;B\) ) dựng tiếp tuyến của \(\left(O\right)\) cắt \(MA,MB\) lần lượt tại \(E\) và \(F\).
a) CMR: Chu vi tam giác \(MEF\) không đổi khi \(P\) di động trên \(AB\).
b) Lấy \(N\) trên tiếp tuyến \(MA\) sao cho \(N,F\) khác phía \(AB\) và \(AN=BF\). CMR: \(AB\) đi qua trung điểm của \(NF\).
c) Kẻ đường thẳng \(d\) qua \(M\) của \(\left(O\right)\) tại \(H\) và \(K\). Xác định vị trí của \(d\) để \(MH+HK\) đạt GTNN
Câu 5:(2đ)
1. Cho \(p\)là số nguyên tố thỏa mãn \(p^2+2018\) là số nguyên tố. CMR: \(6p^2+2015\) là số nguyên tố.
2. Cho tập \(x=\left\{1;2;3...;2015\right\}\). Tô màu các phần tử \(x\)bởi \(5\) màu: xanh, đỏ, vàng, tím, nâu. CMR tồn tại \(3\) phần tử \(a,b,c\) của \(x\)sao cho \(a\) là bội của \(b\); \(b\)là bội của \(c\)
Mình thì còn nhiều lắm, chỉ tội những đề nào mình chưa làm hết thì mới đăng thui, đề này hôm đi thi mình làm gần hết, còn mỗi câu cuối phần hình và con 2 bài cuối là chưa làm đc thôi.
Câu 2 ý b khó quá, bạn nào giải được chưa?
cái đề này có đc lm ko hay chỉ tham khảo
