Gọi hai số lẽ liên tiếp đó là: \(2a+1;2a+3\)
\(\Rightarrow\left(2a+1\right)^2-\left(2a+3\right)^2=\left(2a+1+2a+3\right)\left(2a+1-2a-3\right)\)
\(=\left(4a+4\right)\left(-2\right)=4\left(a+1\right)\left(-2\right)=-8\left(a+1\right)\)
vì \(-8⋮8\Rightarrow-8\left(a+1\right)⋮8\)
Vậy bình phương của \(2\) số lẻ liên tiếp chia hết cho \(8\)
Gọi 2 số lẻ liên tiếp lần lượt là 2x+1 và 2x+3
Theo đề ra ta có:
\(\left(2x+3\right)^2-\left(2x+1\right)^2\)
= \(\left(2x+3-2x-1\right)\left(2x+3+2x+1\right)\)
= \(2.\left(4x+4\right)=2.4\left(x+1\right)=8\left(x+1\right)⋮8\) ( đpcm )
Gọi 2 số lẻ bất kì là 2a + 1 và 2b + 1 \(\left(a,b\in Z\right)\)
Hiệu bình phương của 2 số lẻ đó là:
\(\left(2a+1\right)^2-\left(2b+1\right)^2=\left(4a^2+4a+1\right)-\left(4b^2+4b+1\right)\)
\(=\left(4a^2+4a\right)-\left(4b^2+4b\right)=4a\left(a+1\right)-4b\left(b+1\right)\)
Vì tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên \(a\left(a+1\right)\) và \(b\left(b+1\right)\) chia hết cho 2
Do đó: \(4a\left(a+1\right)\) và \(4b\left(b+1\right)\) chia hết cho 8
\(\Rightarrow4a\left(a+1\right)-4b\left(b+1\right)⋮8\)
Vậy \(\left(2a+1\right)^2-\left(2b+1\right)^2⋮8\)
\(\Rightarrowđpcm\)
