Lời giải:
Xét modulo $3$ cho $n$ thôi . Ở đây mình xét cụ thể TH $n=3k$. TH \(n=3k+1,3k+2\) ta hoàn toàn làm tương tự
TH1: \(n=3k\)
Ta có :
\(11^3\equiv 1\pmod 7\Rightarrow 11^n=11^{3k}\equiv 1\pmod 7\Rightarrow 11^{n+2}\equiv 11^2\equiv 2\pmod 7\)
\(12^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow 12^{2n}=12^{6k}\equiv 1\pmod 7\Rightarrow 12^{2n+1}\equiv 12\pmod 7\)
\(\Rightarrow 11^{n+2}+12^{2n+1}\equiv 14\equiv 0\pmod 7\) $(1)$
Lại có:
\(11^3\equiv 1\pmod {19}\Rightarrow 11^n=11^{3k}\equiv 1\pmod {19}\Rightarrow 11^{n+2}\equiv 7\pmod {19}\)
\(12^6\equiv 1\pmod {19}\Rightarrow 12^{2n}=12^{6k}\equiv 1\pmod {19}\Rightarrow 12^{2n+1}\equiv 12\pmod {19}\)
\(\Rightarrow 11^{n+2}+12^{2n+1}\equiv 19\equiv 0\pmod {19}\) $(2)$
Từ \((1),(2)\) kết hợp với \((7,19)=1\) suy ra \(11^{n+2}+12^{2n+1}\vdots (7.19=133)\) (đpcm)
11n+2+122n+1=121*11n+12*144n
=(133-12)*11n+12*144n=133*11n+(144n-11n)*12
ta có 133*11n\(⋮\)133,(144n-11n)*12\(⋮\)(144-11)
vậy 11n+2+122n+1\(⋮\)133(đpcm)
Xét modulo 3 cho n thôi . Ở đây mình xét cụ thể TH n=3k. TH n=3k+1,3k+2 ta hoàn toàn làm tương tự
TH1: n=3k
Ta có :
113≡1(mod7)⇒11n=113k≡1(mod7)⇒11n+2≡112≡2(mod7)
126≡1(mod7)⇒122n=126k≡1(mod7)⇒122n+1≡12(mod7)
⇒11n+2+122n+1≡14≡0(mod7) (1)
Lại có:
113≡1(mod19)⇒11n=113k≡1(mod19)⇒11n+2≡7(mod19)
126≡1(mod19)⇒122n=126k≡1(mod19)⇒122n+1≡12(mod19)
⇒11n+2+122n+1≡19≡0(mod19) (2)
Từ (1),(2) kết hợp với (7,19)=1 suy ra 11n+2+122n+1⋮(7.19=133) (đpcm)
Ta có :\(11^{n+2}+12^{2n+1}=11^n.121+144^n.12\)
\(\equiv\)\(11^n.121+11^n.12\)(mod133)
\(\equiv0\left(mod133\right)\)
\(12^2=144\equiv11\left(mod133\right)\Rightarrow12^{2n}=144^n\equiv11^n\left(mod133\right)\Rightarrow12^{2n+1}=144^n.12\equiv11^n.12\left(mod133\right)\)
\(11^2=121\equiv-12\left(mod133\right)\Rightarrow11^n.11^2=11^{n+2}\equiv\left(-12\right).11^n\left(mod133\right)\)
\(\Rightarrow11^{n+2}+12^{2n+1}\equiv\left(-12\right).11^n+12.11^n\equiv0\left(mod133\right)\Rightarrow11^{n+2}+12^{2n+1}⋮133\)