Question

Chứng minh rằng:\(\left|a\right|-\left|b\right|\le\left|a+b\right|\) với mọi a,b thuộc R

Answer 1

Nếu |a| < |b| thì |a| - |b| < 0 < |a + b| => |a| - |b| < |a + b| Nếu |a| = |b| thì |a| - |b| = 0; |a + b| = |2a|

=> |a| - |b| \(\le\)  |a + b|

Nếu |a| > |b|

- Nếu b = 0 thì |a| - |b| = |a| = |a + b|

Bây giờ chỉ còn lại 2 trường hợp với b khác 0

- Nếu a và b cùng dấu, dễ thấy: |a| - |b| < |a| < |a + b| => |a| - |b| < |a + b|

- Nếu a và b trái dấu

+ Nếu a > 0 > b, lại có: |a| > |b|        (1)

=> |a| - |b| = a - (-b) = a + b

Từ (1) => bểu thức a + b mang dấu dương, do đó |a + b| = a + b = |a| - |b|

+ Nếu b > 0 > a, lại có: |a| > |b|         (2)

=> |a| - |b| = -a - b = -(a + b)

Từ (2) => biểu thức a + b mang dấu âm, do đó |a + b| = -(a + b) = |a| - |b|

Như vậy, |a| - |b|\(\le\) |a + b|

Dấu "=" xảy ra khi b = 0 hoặc a và b cùng bằng 0 hoặc a và b trái dấu ( với b khác 0)

Answer 2

|a+b|=|2a|, nếu a trái dấu b thì sao