Question

Chứng minh rằng nếu \(a\ge3,b\ge3\) và \(a^2+b^2\ge25\) thì \(a+b\ge7\)

Answer 1

Đặt \(a=3+x\) , \(b=3+y\) (\(x,y\ge0\)) thì \(a+b=\left(x+y\right)+6\)

Ta có : \(a^2+b^2\ge25\Leftrightarrow\left(3+x\right)^2+\left(3+y\right)^2\ge25\Leftrightarrow x^2+y^2+6\left(x+y\right)+18\ge25\)

Ta sẽ chứng minh \(x+y\ge1\) . Thật vậy , giả sử \(0\le x+y< 1\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2< 1\Rightarrow x^2+y^2< 1\)

Do đó : \(a^2+b^2=\left(x^2+y^2\right)+6\left(x+y\right)+18< 1+6+18=25\) trái với giả thiết.

Vậy \(x+y\ge1\) \(\Rightarrow a+b\ge7\) (đpcm)