Question

chứng minh rằng 2n^3 +3n²+7n chia hết cho 6

Answer 1

Ta có:

2n³ + 3n² + 7n

= 2n³ + 2n² + n² + n + 6n

= 2n².(n + 1) + n.(n + 1) + 6n

= (n + 1).(2n² + n) + 6n

= (n + 1).n.(2n + 1) + 6n

Vì 6n chia hết cho 6 nên ta phải chứng minh (n + 1).n.(2n + 1) chia hết cho 6

Vì (n + 1).n là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên (n + 1).n chia hết cho 2 => (n + 1).n.(2n + 1) chia hết cho 2 (1)+ Với n = 3k thì n chia hết cho 3 => (n + 1).n.(2n + 1) chia hết cho 3

+ Với n = 3k + 1 thì 2n + 1 = 2.(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 chia hết cho 3 => (n + 1).n.(2n + 1) chia hết cho 3

+ Với n = 3k + 2 thì n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 chia hết cho 3 => (n + 1).n.(2n + 1) chia hết cho 3

Như vậy, (n + 1).n.(2n + 1) chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2), mà (2;3)=1 => (n + 1).n.(2n + 1) chia hết cho 6

=> (n + 1).n.(2n + 1) + 6n chia hết cho 6

=> 2n³ + 3n² + 7n chia hết cho 6 (đpcm)