Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 30n + 2
12n + 1 chia hết cho d ; 30n + 2 chia hết cho d
=> 5 ( 12n + 1 ) chia hết cho d ; 2 ( 30n + 2 ) chia hết cho d
=> 60n + 5 chia hết cho d ; 60n + 4 chia hết cho d
=> 60n + 5 - 60n - 4 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d = 1
=> Đpcm
Đặt \(\left(12n+1;30n+2\right)=d\)\(\left(d\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5.\left(12n+1\right)⋮d\\2\left(30n+2\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)⋮d\)
\(\Rightarrow60n+5-60n-4⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)\(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(\frac{12n+1}{30n+2}\)là phân số tối giản
Gọi ƯCLN(12n + 1 ; 30n + 2) = d
=> \(\hept{\begin{cases}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(12n+1\right)⋮d\\2\left(30n+2\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{cases}}\Rightarrow60n+5-\left(60n+4\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
=> 12n + 1 ; 30n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> 12n + 1/30n + 2 là phân số tối giản
Bg
Ta có: \(\frac{12n+1}{30n+2}\) (n \(\inℤ\))
Để chứng minh \(\frac{12n+1}{30n+2}\)tối giản thì chứng minh ƯCLN (12n + 1, 30n + 2) = 1 hay -1
Gọi d là ƯCLN (12n + 1; 30n + 2) (d \(\inℕ^∗\))
Theo đề bài: 12n + 1 \(⋮\)d; 30n + 2 \(⋮\)d
=> 5.(12n + 1) - 2.(30n + 2) \(⋮\)d
=> 60n + 5 - (60n + 4) \(⋮\)d
=> 60n + 5 - 60n - 4 \(⋮\)d
=> (60n - 60n) + (5 - 4) \(⋮\)d
=> 1 \(⋮\)d
=> d \(\in\)Ư(1)
Ư(1) = {1; -1}
=> d = 1 hoặc d = -1
=> \(\frac{12n+1}{30n+2}\)tối giản với mọi n \(\inℤ\)
=> ĐPCM (điều phải chứng minh)
Bài làm :
Gọi a là ƯCLN(12n+1;30n+2)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}12n+1⋮a\\30n+2⋮a\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5.\left(12n+1\right)⋮a\\2.\left(30n+2\right)⋮a\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}60n+5⋮a\\60n+4⋮a\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)⋮a\)
\(\Leftrightarrow60n+5-60n-4⋮a\)
\(\Leftrightarrow1⋮a\)
\(\Rightarrow a=1\)
=> ƯCLN(12n+1;30n+2) =1
Vậy phân số trên là phân số tối giản => Điều phải chứng minh .
Chúc bạn học tốt !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Gọi d là ƯCLN( 12n + 1 ; 30n + 2 )
=> \(\hept{\begin{cases}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}5\left(12n+1\right)⋮d\\2\left(30n+2\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{cases}}\)
=> ( 60n + 5 ) - ( 60n + 4 ) chia hết cho d
=> 60n + 5 - 60n - 4 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d = 1
=> ƯCLN( 12n + 1 ; 30n + 2 ) = 1
=> \(\frac{12n+1}{30n+2}\)tối giản ( đpcm )
