Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(x^2=2mx-m^2+4\)
=>\(x^2-2mx+m^2-4=0\)
\(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(m^2-4\right)=4m^2-4m^2+16=16>0\)
=>(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là:
\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m-\sqrt{16}}{2}=\dfrac{2m-4}{2}=m-2\\x=m+2\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{3}{x_2}=1\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{m-2}+\dfrac{3}{m+2}=1\\\dfrac{1}{m+2}+\dfrac{3}{m-2}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m+2+3m-6}{m^2-4}=1\\\dfrac{m-2+3m+6}{m^2-4}=1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}m^2-4=4m-4\\m^2+3m+4=m^2-4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}m\left(m-4\right)=0\\3m=-8\end{matrix}\right.\)
=>\(m\in\left\{0;4;-\dfrac{8}{3}\right\}\)
Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm điểm giao của đường thẳng (d) và đường cong parabol (P), sau đó sử dụng điều kiện đã cho để tìm giá trị của \( m \).
Bước 1: Tìm điểm giao của (d) và (P):
Giao điểm của hai đường thẳng là điểm mà cả hai đường thẳng đều đi qua. Để tìm điểm giao của (d) và (P), chúng ta sẽ giải hệ phương trình:
\[ \begin{cases} y = x^2 \\ y = 2mx - m^2 + 4 \end{cases} \]
Thay \( y \) từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai, ta có:
\[ x^2 = 2mx - m^2 + 4 \]
\[ x^2 - 2mx + m^2 - 4 = 0 \]
Đây là một phương trình bậc hai, ta có thể giải bằng cách sử dụng công thức giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -2m \), và \( c = m^2 - 4 \).
Bước 2: Tìm \( x_1 \) và \( x_2 \), sau đó sử dụng điều kiện đã cho để tìm giá trị của \( m \):
Từ \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), ta có:
\[ x_1 = \frac{2m + \sqrt{4m^2 - 4(m^2 - 4)}}{2} = m + \sqrt{4} = m + 2 \]
\[ x_2 = \frac{2m - \sqrt{4m^2 - 4(m^2 - 4)}}{2} = m - \sqrt{4} = m - 2 \]
Tiếp theo, thay \( x_1 \) và \( x_2 \) vào điều kiện đã cho:
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{3}{x_2} = 1 \]
\[ \frac{1}{m + 2} + \frac{3}{m - 2} = 1 \]
Giải phương trình trên để tìm giá trị của \( m \).
