Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
\(\left(1^2+1^2\right)\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(a^2.1+b^2.1\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki lần nữa ta có :
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a.1+b.1\right)^2\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{2^2}{2}=2\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Có : \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
<=> \(2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\)
<=> \(x^2-2xy+y^2\ge0\) (đúng)
Vậy \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1
