Hàm bậc 3 có 2 cực trị nằm về 2 phía Ox thì cứ biện luận nó có 3 nghiệm thôi:
\(y=0\) có 3 nghiệm pb
\(x^3-3mx^2+3\left(2m-1\right)x+3=0\)
\(\Leftrightarrow x^3-3x+3=m\left(3x^2-6x\right)\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{x^3-3x+3}{3x^2-6x}\)
Lập BBT hàm \(y=\dfrac{x^3-3x+3}{3x^2-3x}\) là xong (nghiệm y' xấu nên chắc mình đoán là tìm m nguyên mới giải được)
\(y=f\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+\left(2m-1\right)+1\)
\(y'=x^2-2mx+2m-1\)
\(y'=0\Leftrightarrow x^2-2mx+2m-1=0\left(1\right)\)
Để hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía với \(Ox\) khi và chỉ khi \(\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt và \(\)\(f\left(x\right)=0\left(2\right)\) có duy nhất 1 nghiệm
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\Delta'=m^2-2m+1>0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2>0\)
\(\Leftrightarrow m\ne1\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+\left(2m-1\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{x^3-3x+3}{3x^2-6x}\)
Đặt \(g\left(x\right)=\dfrac{x^3-3x+3}{3x^2-6x}\)
\(g'\left(x\right)=\dfrac{3x^4-12x^3+9x^2-18x+18}{\left(3x-6x\right)^2}\)
\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow3x^4-12x^3+9x^2-18x+18=0\)
\(\Leftrightarrow x^4-4x^3+3x^2-6x+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3-3x^2-6\right)=0\)
Giải phương trình giải nghiệm \(x\), sau đó bạn lập bảng biến thiên sẽ ra giá trị của \(m\) để \(f\left(x\right)\) có duy nhất 1 nghiệm và kết hợp với điều kiện \(m\ne1\).
