Vô Danh Tiểu Tốt

cho x+y+z=3.Tính GTNN của P=x4+y4+z4+12(1-x)(1-y)(1-z)

Nyatmax
8 tháng 9 2019 lúc 17:20

Ta co:\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{9}{3}=3\) ; \(xyz\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\frac{27}{27}=1\)

\(P=x^4+y^4+z^4+12\left(1-z-y+yz-x+xz+xy-xyz\right)\)

\(=x^4+y^4+z^4+12-12xyz-12\left(x+y+z\right)+12\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}+12-12.\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}-12.3+12\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\ge3+12-12.1-36+4.\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\)

\(\ge-33+4.\left(xy+yz+zx\right)\left(\frac{x+y+z}{xyz}\right)\)

\(=-33+4.\left(xy+yz+zx\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\ge-33+4\left(xy.\frac{1}{xy}+yz.\frac{1}{yz}+zx.\frac{1}{zx}\right)^2\)

\(=-33+4\left(1+1+1\right)^2=-33+36=3\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)

Vay \(P_{min}=3\)khi \(x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
NgDQ
Xem chi tiết
Hồ Lê Thiên Đức
Xem chi tiết
Nguyễn Trâm Anh
Xem chi tiết
Hoàng Phúc
Xem chi tiết
Trương Minh Tiến
Xem chi tiết
Nguyễn Hải Đăng
Xem chi tiết
Phan Thị Khánh Ly
Xem chi tiết
Đỗ Thị Trà My
Xem chi tiết
pham trung thanh
Xem chi tiết