Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Huy Tú

Cho x;y;z là các số dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=12\)cmr 

\(\dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{z^3+1}}\ge1\)

Akai Haruma
22 tháng 9 2021 lúc 7:41

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\leq \left(\frac{x+1+x^2-x+1}{2}\right)^2=\frac{(x^2+2)^2}{4}$

$\Rightarrow \sqrt{x^3+1}\leq \frac{x^2+2}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq \frac{2}{x^2+2}$. Tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế:

$\sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2\sum \frac{1}{x^2+2}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{1}{x^2+2}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+6}=\frac{9}{12+6}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2.\frac{1}{2}=1$
Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Hoàng Sinh
Xem chi tiết
Hoang Tran
Xem chi tiết
hiền nguyễn
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
Nguyễn Huy Tú
Xem chi tiết
꧁Gιʏuu ~ Cнᴀɴ꧂
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
Nguyễn An
Xem chi tiết
Khiêm Nguyễn Gia
Xem chi tiết