Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho hai số không âm ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)
Dấu "=" <=> x = y = z. (đpcm)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};z+x\ge2\sqrt{zx}\)
Nhân vế với vế các bđt trên ta được bđt cần cm
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z :v
Ta có (x + y)(y + z)(z + x) = 8xyz
<=> x2y + xz2 + x2z + y2x + y2z + yz2 = 6xyz
<=> (xz2 + y2x - 2xyz) + (yx2 + yz2 - 2xyz) + (x2z + y2z - 2xyz) = 0
<=> x(z - y)2 + y(x - z)2 + z(x - y)2 = 0
mà x;y;z > 0 =>\(\hept{\begin{cases}x\left(z-y\right)^2\ge0\\y\left(x-z\right)^2\ge0\\z\left(x-y\right)^2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow x\left(z-y\right)^2+y\left(x-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}z-y=0\\x-z=0\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\left(\text{đpcm}\right)\)
