Cho xOy nhọn, vẽ tia Oz là phân giác của xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Ox cắt Oy tại B, cắt Oz tại C. Kẻ AH vuông góc OB cắt OC tại E.
a) Chứng minh tam giác OHE đồng dạng tam giác OAC, từ đó suy ra tam giác AEC cân.
b) Chứng minh HE. OB = OA. ΕΑ.
c) Gọi I là trung điểm của EC. Chứng minh góc OHI = góc OBA.
d) Kẻ AI cắt OB tại M. Chứng minh: góc MHI = góc MAO.
a: Xét ΔOHE vuông tại H và ΔOAC vuông tại A có
\(\widehat{HOE}=\widehat{AOC}\)
Do đó: ΔOHE~ΔOAC
=>\(\widehat{OEH}=\widehat{OCA}\)
=>\(\widehat{ACE}=\widehat{AEC}\)
=>ΔAEC cân tại A
b: Xét ΔOHA có OE là phân giác
nên \(\dfrac{HE}{EA}=\dfrac{OH}{OA}\left(1\right)\)
Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOAB vuông tại A có
\(\widehat{HOA}\) chung
Do đó: ΔOHA~ΔOAB
=>\(\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{OA}{OB}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{HE}{EA}=\dfrac{OA}{OB}\)
=>\(HE\cdot OB=EA\cdot OA\)
a) Do Oz là phân giác của góc xOy, nên góc HOE = góc CAO.
$-$ Vì AH vuông góc với OB và AC vuông góc với OB, nên góc HEO = góc ACO.
$-$ Do đó, tam giác OHE đồng dạng với tam giác OAC.
$=>$ Khi hai tam giác đồng dạng, các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau, nên AE = EC, suy ra tam giác AEC là tam giác cân.
b) Do tam giác OHE đồng dạng với tam giác OAC, nên tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau.
$=>$ Do đó, HE/OB = OA/EA, suy ra HE.OB = OA.EA.
c) Gọi I là trung điểm của EC. Do EI = IC và góc EIC là góc vuông, nên góc OHI = góc OBA (cùng chắn cung BA).
d) Do góc OHI = góc OBA và góc OAH = góc OAB (cùng chắn cung OA), nên góc MHI = góc MAO (cùng chắn cung MO).
