P min = 2 nhá tại (0;0;2).
Từ giả thiết suy ra \(x\le2\)
\(4=x^2+y^2+z^2+xyz\le x^2+y^2+z^2+2yz\le x^2+\left(y+z\right)^2+2x\left(y+z\right)=\left(x+y+z\right)^2\)
Vậy \(x+y+z\ge2\)
Min P=2 với (x,y,z)=(2;0;0) và các hoán vị
Bạn tham khảo lời giải của thầy Nghiệp ở đây nhé ! Vào TKHĐ của mình để xem ảnh
Cách đẹp hơn khi tìm GTLN :V Dirichlet ngầu lòi :D
Lemma: \(x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) ( cái này có tổng quát mà quên cmnr )
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số \(x-1;y-1;z-1\) tồn tại 2 số cùng dấu
Giả sử đó là \(x-1;y-1\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Leftrightarrow xy+1\ge x+y\Leftrightarrow2xyz+2z\ge2xz+2yz\)
Ta cần chứng minh:
\(x^2+y^2+z^2+2xz+2yz+1-2z\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) * đúng *
Khi đó:
\(x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+2xyz+1\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2+xyz\right)+1\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow x+y+z\le3\)
Vậy ...............
Cảm ơn bạn . Bạn giúp mình thêm câu này được không ạ : Cho các số thực x,y thỏa mãn : x + y = căn(x+1) + căn(y+1) . Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất ( nếu có ) P = x + y + 2020
min
\(x+y=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\ge\sqrt{x+y+2}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+1\right)\left(x+y-2\right)\ge0\)
dễ thấy \(x+y+1\ge1>0\)\(\Rightarrow\)\(x+y\ge2\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;0\right);\left(0;3\right)\right\}\)
max
\(x+y=\sqrt{\frac{2}{3+\sqrt{5}}}\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}\left(x+1\right)}+\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}\left(y+1\right)}\right)\)
\(\le\sqrt{\frac{2}{3+\sqrt{5}}}\left(\frac{x+y+5+\sqrt{5}}{2}\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y\le\sqrt{5}+1\)
"=" \(x=y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)
Max:
\(S=x+y=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\)
\(\Rightarrow S^2=x+y+2+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
\(\le x+y+2+x+y+2=2S+4\)
\(\Leftrightarrow\left(S-1\right)^2\le5\Leftrightarrow-\sqrt{5}+1\le S\le\sqrt{5}+1\)
Chú ý là điểm rơi không xảy ra nhé
\(\Rightarrow P\le2021+\sqrt{5}\)
Mình cảm ơn các bạn ạ
Cậu tự CM \(P\ge2\)nha
\(P\ge2=>\left(x+y+z\right)^2\ge4\)
\(=>x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge x^2+y^2+z^2+xyz\)
\(=>2xy+2yz+2xz\ge xyz\)
dấu = xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2,0,0\right)\)zà các hoán zị nha
GTNN của P=2
mình làm hơi tắt . có j ko hiểu hỏi nhé
Hơi chen lấn nhưng mn giúp em với
Cho 4 số không âm a,b,c,d thoả mãn a+b+c+d=1. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ 4 số này. S có thể đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
cục xì lầu ông bê lắc
