\(x+y+z=0\)
\(x+y=-z\)
\(\left(x+y\right)^3=-z^3\)
\(x^3+3xy\left(x+y\right)+y^3=-z^3\)
\(x^3+\left(-3xyz\right)+y^3=-z^3\)
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)( đpcm )
x+y+z = 0
<=> x+y = -z
<=> (x+y)^3 = -z^3
<=> x^3+y^3+3xy.(x+y) = -z^3
<=> x^3+y^3+z^3 = -3xy.(x+y)
Mà x+y+z = 0 => x+y = -z
=> x^3+y^3+z^3 = -3xy.(-z) = 3xyz
=> ĐPCM
k mk nha
Bạn chứng minh hằng đẳng thức này là sẽ làm được
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
Mà \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Xét hiệu:\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
\(=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)+3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)z+z^2\right)-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)(các này bn nhóm lại rồi nhân tung ra là đc)
Mà x+y+z=0 \(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)(ĐPCM)
Ta có: \(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
\(=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)^3-3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^3-3\left(x+y+z\right)\left(xz+zy+xy\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3xy-3yz-3zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
Mà x + y + z =0
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
