Question

cho x, y là hai số thực thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(x^3+y^3+xy\)

Answer 1

Đặt A = x³ + y³ + xy 

= (x + y)(x² - xy + y²) + xy

= x² - xy + y² + xy (Vì x + y = 1)

= x² + y² 

Lại có x +y = 1

=> x = 1 - y

Khi đó A = x² + y²

= (1 - y)² + y²

= 1 - 2y + y² + y²

= 2y² - 2y  +1 = \(2\left(y^2-y+\frac{1}{2}\right)=2\left(y^2-2.\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=2\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(y-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy Min A = \(\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)