Question

Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn log 3 2 x + y + 1 x + y = x + 2 y  .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 x + 2 y  ,

A.  3 + 3

B. 3 + 2 3

C. 6 

D. 4

Answer 1

Đáp án C

log 3 2 x + y + 1 x + y = x + 2 y ⇔ log 3 2 x + y + 1 − log 3 x + y = 3 x + y − 2 x + y + 1 + 1 ⇔ log 3 2 x + y + 1 + 2 x + y + 1 = log 3 3 x + y + 3 x + y *

Xét hàm số f t = log 3 t + t  trên khoảng 0 ; + ∞ ⇒ f t  là hàm số đồng biến trên 0 ; + ∞  

Mà * ⇔ f 2 x + y + 1 = f 3 x + 3 y ⇔ 2 x + y + 1 = 3 x + 3 y ⇔ x + 2 y = 1  

Đặt a = y > 0 ⇔ y = a 2 ⇔ x = 1 − 2 y = 1 − 2 a 2 ,  khi đó T = g a = 1 1 − 2 a 2 + 2 a  

Xét hàm số g a = 1 1 − 2 a 2 + 2 a trên khoảng 0 ; 1 2 ,  suy ra min 0 ; 1 2 g a = 6  

Vậy  giá trị nhỏ nhất cần tìm là T min = 6