`x` là số hữu tỉ đặt: \(x=\dfrac{a}{b}\left(a,b\in Z\right)\)
Giả sử: `xy=z` với z là số hữu tỉ nên ta đặt: \(z=\dfrac{c}{d}\left(c,d\in Z\right)\)
`=>y=z/x` là số hữu tỉ vì \(\dfrac{z}{x}=\dfrac{c}{d}:\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{b}{a}=\dfrac{bc}{ad}\)
Mà: `a,b,c,d∈Z=>bc∈Z;ad∈Z=>z/x∈Q`
`=>y∈Q`
`=>` Trái với giá thuyết y là số vô tỉ
Vậy z là số vô tỉ hay `xy` là số vô tỉ
Giả sử x + y = z là một số hữu tỉ.
Suy ra y = z –x ta có z hữu tỉ, x hữu tỉ thì z – x là một số hữu tỉ
Hay y ∈ Q trái giả thiết y là số vô tỉ
Vậy x + y là số vô tỉ
Giả sử z = x.y là một số hữu tỉ
Suy ra y = z : x mà x ∈ Q, z ∈ Q
Suy ra y ∈ Q trái giả thiết y là số vô tỉ
Vậy xy là số vô tỉ
