Question

Cho tam giác ABD vuông A. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB, đường tròn này cắt BD tại C. Gọi H là hình chiếu của A trên OD. Tia AH cắt đường tròn tâm O tại F (khác A). Chứng minh BH.BC=2OC.BF

Answer 1

\(\Delta DAC\sim\Delta DBA\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AC}{BA}=\dfrac{DA}{DB}\). (1)

\(\Delta DFC\sim\Delta DBF\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{FC}{BF}=\dfrac{DF}{DB}\). (2)

Lại có DA = DF (3) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\dfrac{AC}{BA}=\dfrac{FC}{BF}\Rightarrow AC.BF=FC.BA\).

Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác ABFC nội tiếp ta có AC . BF + FC . BA = BC . AF

\(2.AC.BF=BC.2FH\Rightarrow AC.BF=BC.FH\Rightarrow\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{FH}{FB}\Rightarrow\Delta BCA\sim\Delta BFH\left(c.g.c\right)\Rightarrow\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BH}{BF}\Rightarrow BH.BC=BA.BF=2OC.BF\).

P/s: Đây là tính chất kinh điển của tứ giác điều hòa

Answer 2