Question

cho tam giác ABC vuông tại a,M là trung điểm BC.Lấy F là điểm đối xứng của M qua AC,E là trung điểm AB.Gọi I là giao điểm của MF và AC ,CMR:
a)tứ giác AEMI là hình bình hành
b)tứ giác AMCF là hình bình hành
c)tứ giác ABMF là hình bình hành

Answer 1

a: Ta có: F đối xứng với M qua AC

nên AC là đường trung trực của FM

\(\Leftrightarrow AC\perp FM\) tại trung điểm của FM

mà AC cắt FM tại I

nên AC\(\perp\)FM tại I và I là trung điểm của MF

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC

MI//AB

Do đó: I là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

I là trung điểm của AC

Do đó: MI là đường trung trực của ΔABC

Suy ra: MI//AB và \(MI=\dfrac{AB}{2}\)

mà E\(\in\)AB và \(AE=\dfrac{AB}{2}\)

nên MI//AE và MI=AE

Xét tứ giác AEMI có 

MI//AE

MI=AE

Do đó: AEMI là hình bình hành

b: Xét tứ giác AMCF có 

I là trung điểm của đường chéo AC

I là trung điểm của đường chéo MF

Do đó: AMCF là hình bình hành

Answer 2

c: Ta có: \(IM=\dfrac{MF}{2}\)

mà \(IM=\dfrac{AB}{2}\)

nên MF=AB

Xét tứ giác AFMB có

MF//AB

MF=AB

Do đó: AFMB là hình bình hành

Answer 3

a,xét tam giác ABC vuông tại A có E,M là trung điểm AB,BC

=>BE=EA,BM=MC=>EM là đường trung bình tam giác ABC

=>EM//AC<=>EM//AI(1)

có F đối xúng M qua AC=>MF vuông góc AC

mà AM là trung tuyến của tam giác ABC vuông tại A

=>AM=\(\dfrac{1}{2}BC\)=MC=>tam giác AAMC cân tại M có Mi vừa là đường cao nên cũng là trung tuyến=>AI=IC

mà BM=MC=>IM là đường trung bình tam giác ABC=>MI//EA(2)

(1)(2)=>AEMI là hình bình hành

b,chứng minh ở ý a ta có AI=IC

mà MI=IF(vì M đối xứng F)

=>MF và AC cắt nhau tại trung điểm I mỗi đường

=>AMCF là hình bình hành

c,có AMCF là hình bình hành=>MC//AF=>BM//AF

mà AEMI là hình bình hành=>AB//MF=

=>ABMF là hình bình hành