Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE=BA, trên BA lấy điểm F sao cho BF = BC. Kẻ tia phân giác của góc ABC ( D thuộc AC) . Chứng minh rằng. a) tam giác ABD = tam giác EBD từ đó => AD = ED b) BD là đuờng trung trực của đoạn thẳng AE và AD < DC c) Ba điểm E, D, F thẳng hàng.
a: Xét ΔBAD và ΔBED có
BA=BE
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)
BD chung
Do đó: ΔBAD=ΔBED
=>DA=DE
b: Ta có: BA=BE
=>B nằm trên đường trung trực của AE(1)
Ta có: DA=DE
=>D nằm trên đường trung trực của AE(2)
Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AE
Xét ΔBAC có BD là phân giác
nên \(\dfrac{DA}{AB}=\dfrac{DC}{BC}\)
mà AB<BC
nên DA<DC
c: Ta có: ΔBAD=ΔBED
=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)
=>\(\widehat{BED}=90^0\)
=>DE\(\perp\)BC
Ta có: BA+AF=BF
BE+EC=BC
mà BA=BE và BF=BC
nên AF=EC
Xét ΔDAF vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có
DA=DE
AF=EC
Do đó; ΔDAF=ΔDEC
=>\(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\)
mà \(\widehat{EDC}+\widehat{ADE}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{ADF}+\widehat{ADE}=180^0\)
=>E,D,F thẳng hàng
