Cho tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ tia Bx vuông góc với BC (Bx cùng phía với điểm A đối với đường thẳng BC). Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt Bx ở M. Đường thẳng qua O và song song với AB cắt AM ở D, AC ở F. Đường thẳng MO cắt AB ở E. a) Chứng minh rằng: EF = AO. b) BD cắt CM ở I Chứng minh rằng: Ba điểm E, I, F thẳng hàng.
a: Ta có; ΔABC vuông tại A
mà AO là đường trung tuyến
nên OA=OB=OC
OA=OB nên ΔOAB cân tại O
Xét ΔOAM vuông tại A và ΔOBM vuông tại B có
OM chung
OA=OB
do đó: ΔOAM=ΔOBM
=>MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB tại E và E là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
O là trung điểm của BC
OF//AB
Do đó: F là trung điểm của AC
Ta có: OF//AB
AB\(\perp\)AC
Do đó: OF\(\perp\)AC tại F
Xét tứ giác AEOF có \(\widehat{AEO}=\widehat{AFO}=\widehat{FAE}=90^0\)
nên AEOF là hình chữ nhật
=>AO=EF
